复变函数论方法学习笔记

2021-10-08

那么这里是复变函数

18、19世纪是数学飞速发展的世纪，这约莫200年间出现了一大批杰出的数学家，涌现了许多优美而严谨的数学理论。18世纪的统治者是微积分，在力学和天文学上的大获成功催生了大半个工业时代，此时复变函数似乎还在萌芽当中。

最早对复变函数产生兴趣的是产能过剩的大数学家欧拉，他最早在1774年的一篇论文中（欧拉一年平均产出600页论文，比不了比不了）讨论了由复变函数的积分导出的两个方程，即欧拉-达朗贝尔方程，到了19世纪，柯西和黎曼对流体力学的研究中对这两个方程做了更深层次的研究，因此又叫柯西-黎曼条件（全纯函数条件）

复变函数大发神威是在19世纪。18世纪末、19世纪初的世纪之交，政坛风云的变换和四处纷飞的硝烟并没有磨灭数学的发展，这一时期分析学的严格化正如火如荼地进行着。战争对于新技术的需求极大地催化了数学的飞速发展。这一时期柯西、黎曼、维尔斯特拉斯为复变函数论做了大量奠基工作，复变函数在19世纪被公认为最丰饶的数学分支学科，也有人称赞她为抽象科学中最为和谐的理论之一。

复变函数论在应用方面涉及极广，从共形几何到场论，从数物方法到积分变换，复变函数论在工程和分析上的应用已经数次向我们证明了她的威力。同时，复变函数论还在持续影响着微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

《复变函数论方法》是苏联数学家拉夫连季耶夫的讲义，个中理论事无巨细一并列载，是一本内容丰富但难啃的大部头。这本书以共形映射为基础，详细地介绍了将共形映射应用到共形映射的一般问题上去的方法，同时也介绍了一些复变函数逼近理论、保角映射理论、分析理论、算子论等方法。

那么，要开始了。

（一）复数的基本知识

形如$x+\textbf{i}y$形状的数叫做复数，其中x和y都是实数，而i是一个新引入的常量，叫做虚数单位。x与y两个数分别被称为复数的实部和虚部，用记号Re和Im表示。

特别的，x=0时，复数叫做纯虚数，y=0时，复数与实数等同。

复数具有良好的相等关系，即两复数实部虚部均相等时，两复数相等。

复数具有定义良好的运算。

复数的加法定义为实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的减法定义为加法的逆。

两复数被称为共轭的，这是说两复数具有相同的实部和互为相反数的虚部。$z_{1}$的共轭复数记作$\overline{z_{1}}$。

由此可见，复数对加法构成交换环，此处复数事实上同构于R$\times$R了。

对于虚数单位$\textbf{i}$我们定义它的乘法运算$\textbf{i} \cdot \textbf{i}$= -1，这是说，虚数单位是方程$x^{2}$+1=0的解的扩张。

此时我们可以构造复数的乘法和除法了，只介绍乘法原则： \[ z_{1}z_{2}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+(x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2})\textbf{i} \] 复数的模定义为其与其共轭数的自乘的平方根，此数是非负的，满足我们对复数“度量”的要求。

下面来介绍复数的整次乘幂：

n个相等的数相乘叫这个数的n次乘幂。其逆运算，方根，规定如下：

如果$\omega^{n}$=z那么$\omega$叫做z的n次方根。下面我们将看到，任何一个非0复数的n次方根总有n个不同的值。

复数的几何表示

我们考虑笛卡尔坐标平面xOy，并用坐标为（x，y）的点表示复数z=x+iy。那么我们容易看到，实平面上的点和复数一一对应起来了。

我们考虑平面向量与平面间的对应关系，容易想到每个向量也都唯一地对应着一个复数，这样我们在几何直观上的复数观念就建立起来了。

同时，复数在极坐标内的表示法也是我们常用的。如果把极径记作r，辐角记作$\phi$,那么就有z=r($ +$)

可以验证的是，r就是复数的模，因而肯定了我们用模度量复数的想法。极角$\phi$叫做复数z的辐角，用记号Arg z来表示。复数的模是唯一确定的，但是辐角却对应无数多个相差2$\pi$的值（z≠0）。 \[ \phi = Arg \; z =\begin{cases} arctg \frac{y}{x}+2k\pi &\text{第一四象限}\\ arctg \frac{y}{x}+(2k+1)\pi &\text{第二三象限} \end{cases} \] 这里用arctg表示Arctg的主值，即大于$-\pi/2$小于$\pi/2$的值，k为任意整数。

从上一节运算法则中我们可以得出，两个复数相乘时，辐角相加，模数相乘。两个复数相除时，我们须得说明复数的倒数的几何意义：

首先假定复数z的模小于1.从原点O作Oz，过z作Oz的垂线交圆周r=1于一点A，过这点A作圆周的切线，这切线于Oz射线的交点记作$\omega$，显然有arg $\omega$ = arg z.

由直角三角形的相似性，我们可以得出$|\omega| \cdot |z|$=1，然而这二者辐角相等，故只需作前者关于x轴的对称点，该点于z相乘辐角才可归0，模长才可为1，这样，我们就找到了z的倒数的几何表示。

熟悉几何学的都能明白，这个点实际上就是经过反演变换和对称变换后的z，反演变换是“圆对称”，也可以看作是对称操作而来。

乘幂的几何意义，以上说的已经很明白，关于求z的n次方根，我们可以清楚的看到这些根是模长为z的模长的n次方根，辐角为z的1/n的整数倍的一些值。有趣的是，这些根可以恰好构成一个n边形的n个顶点。

复变函数的基本知识

在这一节中我们要介绍复变函数的基本知识和柯西-黎曼条件。

几何概念

复平面上的区域是一个点集，满足开集性和连通性。

凡是本身不属于区域D，而在它本身的任意邻域内都含有D中的点的点叫做D的边界点，D的所有边界点的集合叫做它的边界。区域D同它的边界合在一起叫做闭区域。

我们假定一个区域的边界将总是由有限多的闭曲线、截痕与点组成的，而且组成边界的那些曲线与截痕，我们总假定是逐段光滑的。一个区域的边界被分成若干连接部分，这些部分的数目，叫做这个区域的连通阶数。如果D的边界是完全由一个连接部分构成，那么D叫做单连通区域。

区域边界的正向将被规定为使这区域保持在左边那个方向。按照正向沿着边界走，边界的某些点将只被经过一次，另外一些点将被经过数次。一个点被经历过的次数叫做它的重数。

复变函数

在z平面上点的一个集合M，如果已经指明一个规则，对应这个规则，M的每一个点z都有一个或一些确定的点w的总和与之对应，那么我们就说M上指定了一个函数。

这类函数f分为单值函数和多值函数。M叫做f的定义集合。f在M上所取的一切w值的集合N叫做函数f的量变集合。以后我们重点讨论M、N均为区域的那种情形。

如果给定z=x+iy,w=u+iv，那么就相当于给定了两个实变量的二元函数 \[ u=u(x,y),\;\;v=v(x,y) \] 如果我们把所有的z值放在一个平面上，而所有的w值放在另一个平面上，那么一个复变函数就可以看成一个在两复数平面间的映射。

如果f在M上是单值的，同时M中两个不同的值对应N中两个不同的值，那么我们就说f是单叶的，或是一一的（在M上）

反函数、复合函数的情形，我们在实变课程中已经研究的够多了，此处发扬精神不再赘述。

可微性和解析性

复变函数的求极限及连续性与实变函数并无不同，因而能够简单地将实变函数的性质推广到复变函数：

在闭区域内连续的复变函数具有以下性质：

（1）在区域内有界，即$|f(z)|\le M$，M为一个非负常数。

（2）按模达到函数的最大值和最小值。

（3）一致连续。

以及一个不加证明给出的定理：

定理 1

如果w=f（z）在区域D内连续，而且做出一个将这区域映射到w平面上的一个集合$\Delta$的单叶映射，那么$\Delta$也必定是一个区域，而且f的反函数在$\Delta$上也连续。

下面我们可以进行复变函数可微性的判断了。

柯西-黎曼条件

设函数f（z） = u（x，y） + i v（x，y）定义在点z的一个邻域内，且u和v这两个函数在z处都是可微的。那么： \[ f在点z处可微\;\; \Leftrightarrow\;\; \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \] 证略

从复变函数的构造出发，我们可以发现实变函数的微分法则可以不加修改地应用到复变函数上面去。

在一个区域D内每一个点处都可微的函数f，叫做在这个区域内的解析函数（也叫全纯函数或正规函数）。目前我们遇到的解析函数的概念是相对于单值函数而言的。

最后出示一个柯西-黎曼条件的推广：

若使$n^{0}$=i*$s^{0}$,则： \[ f在z点处可微 \Leftrightarrow \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial v}{\partial n},\frac{\partial u}{\partial n}=-\frac{\partial v}{\partial s} \]

我们指出极坐标柯西黎曼条件：

应用上式有： \[ \frac{\partial u}{\partial \phi}=-r\frac{\partial v}{\partial r},\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{\partial v}{\partial \phi} \]

初等函数

本节专门讲述复数变量的初等函数及它们的几何表示

这些函数是在数学分析中较为常见的函数类别在复数区域的自然推广，因而具有了许多原本不具有的性质。例如exp函数，推广后会获得周期性，sin和cos函数不再是有界函数，不同于0的任何复数的对数都有意义等。

在复数区域内对多值函数的研究是有益的，只有在这样的研究中才能说明函数多值性的含义。

幂函数

函数w = z^n 和$w=z^{1/n}$，其中n是任何一个正整数，已经在前面对于一切复数z定义过了。第一个函数 w = z^n是单值的。如果在z、w平面中引入极坐标 \[ z=r(\cos\phi+i\sin\phi),w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \] 那么第一个函数可以写成两个只与实变量有关的等式： \[ \rho =r^{n},\theta=n\phi \] 由此可见，该映射归根结底是伸长模和旋转角的映射。还可以看出。两个辐角相差2$\pi$/n的整倍数，具有相同模长的点可以在该映射下变换为同一个点。因此，要使其在一个额区域内是单叶映射，其充要条件是D中不存在任何两个模长相等且辐角相差整倍数2$\pi$/n的点。

从同上式等价的公式 \[ \omega = u + iv = r^{n}(\cos{\;n\phi}+\sin{\;n\phi}) \] 中可以得出，在平面内对应于直线u=u0，v=v0的是极坐标为 \[ r=(\frac{u_{0}}{\cos {n\phi}})^{1/n},r=(\frac{v_{0}}{\sin {n\phi}})^{1/n} \]

的曲线，在n=2时，这些曲线就是普通的双曲线。

我们最后指出，该函数在平面内是解析的。

第二个函数是上一个函数的反函数。w=$z^{1/n}$。从上面的讨论中知道，方根w的值，取决于对点z所选取的辐角的值。在一个$z_{0}\neq0$的辐角的值中，选取一个记作arg z0，并设点z从z0起，在平面内画出一条不经过原点的连续曲线C。我们把点z的辐角从arg z0起连续的变化的那个值记作arg z。由于z的辐角和模长都是连续的，所以，当w的值按照这样选择的辐角完全确定时，此值也将是连续变化的。

设C是一条闭曲线，并且在它的内部不含点z=0.那么当点z完全绕C一周时，点w也画出一条闭曲线而回到原来的位置。由另外的arg z0（与刚才选取的辐角差了一个2$\pi$的整数倍）所决定的方根的值，在绕C一周时显然也画出了另外一条闭曲线$\Gamma_{k}$，其不同于刚才那条w画出的曲线的地方只是转了一个辐角2k$\pi$/n.

但是如果C包含z=0在它内部，那么从0处看这曲线必是环绕在四周的。那么当z在曲线C上转动时，由于z的辐角不是增大-减小或减小-增大到原来的值，而是连续地增加到新的值，那么w所环绕的曲线就不会是封闭的曲线，而是不停地画出相连的相似轨迹，在z环绕C行n周后，w才能第一次回到原位置。

由此可知，在平面上任何一个不包含z=0在其内的闭曲线的区域内，可以分出n个单值函数来，每一个函数取w的n个值中的一个。这n个函数叫做多值函数$w=z^{1/n}$的分支；在每一个固定的点上它们的值只相差一个固定的乘数$\cos {2k\pi/n}+i\sin {2k\pi/n}$。每一个这样的分支在D内实行一个单叶映射，所以关于反函数的导数的定理在这区域内适用。

所以我们看出，由那些分支作出的映射在D内都是解析的。

在一个我们刚才考虑的那种区域D中，即使是无限多值函数Arg z，我们也可以分出无限多个连续的单值分支出来，并且给每一个指定arg z作为它们的值。

但是如果D内包含哪怕一条包含z=0在内的闭曲线，那么，在这样的区域内，分开w=$z^{1/n}$的分支将会变得不可能。这就是说，如果我们在D内某一个点的邻域内分出任何一个分支来，那么当沿着围绕z=0的曲线移动时，我们便可以到达另一个分支上。因此，在这种情形下，分开分支是不可能的。这些分支好像在z=0这里连起来了，我们把z=0叫做这个函数的支点。

茹科夫斯基函数

\[ w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}) \]

这函数对于一切z$$0来说都是有定义且单值的。显然，对于这样的z来说它也是解析的。

现在我们可以求使得该映射是单叶映射的区域。为此我们假定z1和z2在变换下到同一个点，于是便有 \[ z_1+\frac{1}{z_1}=z_2+\frac{1}{z_2} \\即\;\;\;\;\;\; (z_1-z_2)(1-\frac{1}{z_1z_2})=0 \] 所以在任何区域D内，要使映射使单叶映射的充分必要条件是D内没有满足$z_1z_2$=1的值。

例如，假设单位圆的内部或外部就都满足这条件。

对于单位圆内部的点而言，该映射把每一条圆周映射到w平面上的一个按反方向行进的椭圆，这椭圆在$r_z$趋向于1时，压缩成u轴（此处请回忆我们关于u函数和v函数的约定）上的一条线段[-1,1]，上半圆映射到该线段的下边岸，下半圆映射到上边岸。而$r_z$=0时，将原点映射到无穷远。

对于每一条半径，该映射将其变换为一条双曲线。这些双曲线的焦点同圆周映射成为的椭圆一样，都在[-1,1]的两个端点上。

由于对称性我们可以看出，单位圆外部的圆周和“半径”同样被如此映射，并且它们是按照正方向来行进的。

茹科夫斯基反函数

该函数的反函数$z=w+\sqrt{w^2-1}$是一个双值函数，对于每一个w有两个z与它对应，这两个z满足关系$z_1z_2$=1。

该函数有支点（-1，0）和（1，0），即1、-1。可以从w-1和w+1来考虑，这二者在仅围绕着-1或1中某一点的曲线上绕行时，总是有一者的辐角会连续地变动到新的值，因而不能分出单叶映射来。

可以考虑去掉了连接两支点的曲线的平面，比如去掉线段[-1,1]的平面，那么这函数正是茹科夫斯基映射的逆映射。

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数的定义和性质，在复变函数领域内是被相当地拓宽了的，我们可以从如下事实出发来讨论

指数函数

由于对数函数不过是指数函数的反函数，因而我们讨论指数函数能很好地对偶出对数函数的性质。

指数函数，一般地，由exp函数作为首要的定义。即：w=$e^z$

虚数指数的定义和计算由欧拉方程来定义： \[ e^{x+iy}=e^x(\cos y+sin y \; \textbf{i}) \] 从此我们可以看出来，复变函数的指数函数一般地不需要为恒正值，同时，也具有了2$\pi i$的虚数周期。显而易见地，指数函数的模由自变量的实部决定，指数函数的辐角由自变量的虚部决定。

所以，当指数函数在两复平面内形成映射时，具有不同横坐标的点被映射到不同位置，具有不相差2$\pi$整数倍的点被映射到不同位置。所以，要使指数函数exp成为单叶的，最简单也最自然的方法是以每2$\pi$的纵向长度划分平面为无数长条，这样，在每一个长条上指数函数都是单叶的。

显见$0\le y< 2\pi$就是这样的长条之一。指数函数exp将每一条竖线段映射到w平面的一个圆上，这些圆是以原点为中心的同心圆。每一条横着的直线被映射到w平面的一条射线上。

exp函数在平面上任何一点都是定义成功的，这可由 \[ \lim_{n->0}\;(1+\frac z n)^n = e^z \] 的存在性来证明。

exp函数在平面上任何一点都是可微的，易于验证它满足柯西-黎曼方程。

对数函数

由此显见对数函数的性质，对数函数是指数函数的反函数，对exp的讨论可以让我们明白，对数函数必定是多值函数，在z=0处连接着无穷多的分支。因而在任何一个不包含含有z=0在内的曲线的区域中，可以把对数函数分出无穷多个分支来，这些分支中的每一个，都是单叶函数。

这样的对数函数的全体，记作Ln函数，即w=Ln（z），由我们对于exp函数的讨论，我们知道Ln（z）=ln|z|+Arg z i，我们选取Ln（z）和Arg z相同的主值，因而可以定义ln z=ln|z|+arg z i。

显见z=0是对数函数的支点，在这点函数没有定义，且不能将任何一个分支单独地分离开来。在平面上的其它任何地方，单值的对数函数都有定义，并且根据单值函数的反函数定理，是可微的。

对数函数对平面实施的映射，如我们所看到的那样，是将平面映射到一条条带型。

PS：一般的指数函数定义用到exp函数和ln函数表示

三角函数

三角函数的复数定义是由指数函数来扩充的。

直接利用欧拉公式： \[ sin\;z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ cos\;z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \] 对于这样的函数，我们很容易看出以下性质：

1）对于实数函数而言sin和cos并无不同

2）处处解析

3）微分公式成立

4）具有实周期2$\pi$

5）sin是奇函数，cos是偶函数

6）依然遵从实关系的运算法则

7）并非有界

所有这些性质都可以从定义直接得出

我们接下来研究一下sin函数的映射

其实这是三个函数的连续映射： \[ z_1=iz,\;e^{z_1}=z_2,\;z_3=-iz_2=\frac{e^{iz}}{i} \\w=\frac 1 2(z_3+\frac 1 {z_3}) \] 我们可以看到，sin函数其实就是我们研究过的三个函数的乘积。首先我们来求使其成为单叶映射的条件。

易见第一、第三个函数都是单叶的，故只看第二和第四个映射。第二个映射使指数函数，要使单叶，必须使得区域内不存在虚坐标相差2$\pi$的整数倍的点，要使w单叶，必须使得z3中不包含乘积为1的两个点。

由此可得，要使sin成为单叶的，必须使区域内没有相差2pi的点，同时也没有和为奇数倍pi的点。例如夹在-pi和pi之间的上半平面就满足这个要求，这部分平面被映射到完整的w平面上。

tan函数和cot函数，可由sin和cos函数的讨论完全引出。

双曲三角函数的讨论，和三角函数的讨论十分类似，这里略过不谈。

末：

一般指数函数和幂函数的讨论，已夹杂在对特殊的指数函数和幂函数的讨论之中了，我们不再多谈。