序言：微分几何的过去和未来
微分几何的出发点是微积分：一条曲线的切线和微分是同一个概念。同样，一条封闭曲线所包围的面积的理论，就是积分论。微积分在几何上的应用，发展为曲线论及曲面论。微分几何初期作出重要的贡献的，当推大数学家L.Euler及G.Monge。
微分几何的始祖是大数学家C.F.Gauss。他的曲面论建立了曲面的第一基本式所奠定的几何，并把欧氏几何推广到曲面上弯曲的几何。后来Riemann在1954年所做的有名的演讲将这个理论推广到n维空间。黎曼几何就在此年诞生。
黎曼的演讲直到1968年他死后才发表，当即引起许多新工作来处理和推展他的几何。主要的作者包括E.Berltrami,E.B.Christoffel,R.Lipschitz;他们的论文都发表在1870年左右。克里斯托弗是一位开拓的大师，他曾一度在瑞士苏黎世任教授，因此影响及于意大利的数学家，有L.Bianchi及T.RIcci。前者是第一个用“微分几何”作书名的。后者是“张量分析”的始祖。
黎曼几何之所以大受重视，由于爱因斯坦的广义相对论。爱因斯坦将引力现象解释为黎曼空间的曲率性质，因而使得引力成为空间“不平坦”的结果，因之，物理现象变为几何现象，微分几何的了解遂成为理论物理学者所必需。
1870年，Felix Klein发表了他的Erlanger Programm。这个计划把几何学定为一个变换群下的不变性质。视变换群的选择，我们有欧式及非欧几何学、投影几何学、仿射几何学等。这些空间内的支流形的研究成为相当的微分几何学。20世纪初期投影微分几何的研究相当活跃，领导者为美国的E.J.Wilczynski及意大利的G.Fubini(学过实分对这二位应该不陌生），苏步青教授做过很大的贡献并指导了很多学生。在仿射微分几何作决定性工作的当推W.Blaschke。
将两种观点融合的是Elie Cartan。他的广义空间把联络作为主要的几何观念。他建立的外微分和他在李群的工作是近代微分几何的两大基石。
微分几何的主要问题是整体性的，即研究空间或流形的整个的性质，尤其是局部性质与整体性质的关系。Gauss-Bonnet公式就是一个例子。
要研究整个流形，流形论的基础便成为必要。流形内的坐标是局部的，本身没有意义；流形研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质（如切矢量、微分等）。这是与一般数学不同的地方。这些观念经过几十上百年的演变，逐渐成为定型。将来数学研究的对象，必然是流形；传统的实数或复数空间只是局部的情形。
讲到微分几何的未来，当然预测是很困难的。19世纪的深刻结果，大多是单元的（如单复变函数论）。20世纪内高维流形的发展是辉煌的。但整个宝藏发掘未及十一，可以发展的方向，多不胜数。数学的前途无量是可以预卜的。PS：本章是陈省身先生《微分几何讲义》的代序部分，我将其摘录在此。本来预定第一篇文章应该发《张量分析》的序言及学习笔记，但我思前想去，到底还是先抄录了此篇文章。此种行为的目的，实在于抛砖引玉。 微分几何所对于一个复杂、多态、高维空间的研究是必不可少的。以智能的研究为例。我们知道单个节点绝不能构成智能，具有智能是构造性的空间复杂、高维这一事实的结果。如果从这个角度来看，针对智能的某种“结构“，或者说”模式“的研究可能会成为微分几何大展身手的好舞台。依靠对微分几何的学习可以加深对于高维流形的理解，化抽象为抽象（x）。当然事艰路远，当下还是先转回《复变函数论方法》和《张量分析》为好。